Родился 23 июля 1891 года в Санкт-Петербурге,  в семье крупного чиновника, главного инспектора почт и телеграфов России Сергея Александровича Кошлякова. Ещё в гимназии проявил склонность к занятиям математикой и самостоятельно овладел дифференциальным и интегральным исчислениями.

В 1914 году окончил физико-математический факультет Петербургского университета, во время учебы в университете заинтересовался вопросами аналитической теории чисел и в связи с этим трудами Г. Ф. Вороного, что оказало значительное влияние на всю его дальнейшую научную деятельность.

После успешной сдачи магистерских экзаменов в Петербургском университете получил место приват-доцента в Пермском университете, где проработал до 1919 года.

В 1918—1925 годах преподавал в Таврическом университете, доцент, с 1922 года — профессор.

Преподавал в Ленинградском государственном университете (1925—1941), где заведовал кафедрой общей математики, и в Ленинградском электротехническом институте (1926—1941), заведующий кафедрой высшей математики.

В 1933—1936 годах работал в Математическом отделе Физико-математического института им. В. А. Стеклова АН СССР, затем МИ АН СССР. Избран в АН СССР по Отделению математических и естественных наук (математика) 1 февраля 1933.

Математика Николая Кошлякова арестовали в конце 1941 года в блокадном Ленинграде по делу «Союза старой русской интеллигенции», также известному как «дело №555». Ученых брали буквально по списку: всех, кого так или иначе упоминали на допросах их репрессированные в 1936-37 годах коллеги. Всего за решеткой оказалось 127 человек, в том числе профессора Андрей Журавский, Николай Розе и другие. Фабула обвинения сводилась к тому, что «реакционно настроенные» ученые и инженеры ждали прихода немецких оккупантов, чтобы восстановить в стране капитализм.

Кошлякова приговорили к расстрелу, но заменили высшую меру наказания десятью годами лагерей и отправили по этапу на Урал, в лагерь вблизи Соликамска. Тем временем его семья эвакуировалась в Новосибирскую область, и сын, уезжая, забрал с собой некоторые работы отца, а также второй том «Курса современного анализа» Уиттекера и Ватсона, и при первой же возможности отправил все это в лагерь (в 1943 году Кошлякову разрешили переписку).

Позже со ссылкой на собственные воспоминания и рассказы математика его коллеги писали, что вместо бумаги, которой в лагере не хватало, Кошляков использовал фанеру, соскребая ранее написанное куском стекла. Расчеты он делал в бараке для доходяг: ученого не посылали на общие работы, так как он был истощен и страдал пеллагрой. В 1943-44 годах Кошляков написал две важных работы: «Исследование некоторых вопросов аналитической теории рационального и квадратичного поля» и «Исследование одного класса трансцендентных функций, определяемых обобщенным уравнением Римана». Последнюю работу ему, находясь в ГУЛАГе, удалось опубликовать.

Закончив труд, ученый показал его лагерной администрации и объяснил, что записи представляют ценность для науки. Начальство переслало исследование на Лубянку, оттуда оно попало на экспертизу в Математический институт имени Стеклова Академии наук СССР и легло на стол академику Ивану Виноградову. Тот дал прочитать его академику Сергею Бернштейну, и ученые поспешили отправить в НКВД положительный ответ. Бернштейн написал и самому Кошлякову в Соликамск: «Надеюсь, что здоровье и силы помогут Вам продолжить Ваши прекрасные исследования». Прочитав открытку от академика, лагерное руководство выдало заключенному Кошлякову бумагу и увеличило паек. В конце 1944 года математика этапировали в Москву: он стал работать в так называемой шараге — теоретическом отделе конструкторского бюро СБ-1, большинство сотрудников которого были заключенными (впоследствии из этой шарашки выросло НПО «Алмаз» имени Расплетина).

Исследование ученого увидело свет в 1949 году, когда он еще отбывал срок. Разрешение на публикацию органы НКВД дали, но запретили упоминать фамилию математика-заключенного, поэтому работу издали под псевдонимом Н.С. Сергеев.

Освободился Сергей Кошляков в 1951 году, после освобождения продолжал работать в том же НПО "Алмаз", в должности начальника лаборатории, а после выхода на пенсию оставался научным консультантом и членом Ученого совета предприятия. В 1953 году ему дали Госпремию СССР, орден Ленина и квартиру в Москве, а в 1955 году математик и другие ленинградские ученые, арестованные по «делу №555», были реабилитированы.

Скончался 23 сентября 1958 года от кровоизлияния в мозг. Похоронен на Новодевичьем кладбище